高考数学(理)基础知识总复*名师讲义:第7章 第11节 轨迹方程的求法[ 高考]

发布于:2021-11-28 21:34:34

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第十一节 轨迹方程的求法
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
知识梳理 一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了 如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 二、求曲线的(轨迹)方程 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合 某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条 件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了 考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外,还充分 考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力. 它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常 用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨 迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外, 通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨 迹方程.因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标 有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关 的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用. (1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤. ①建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标 M(x,y); ②列几何等式:写出适合条件的点的集合 P={M|P(M)},关 键是根据条件列出适合条件的等式; ③化为代数等式:用坐标代换几何等式,列出方程;
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④化简:把方程 f(x,y)=0 化成最简形式; ⑤证明:证明化简后的方程就是所求曲线的方程. 除个别情况外,化简过程都是同解变形,所以步骤⑤可以省 略不写.如有特殊情况,可适当加以说明,步骤②也可省略. (2)求曲线轨迹方程应注意的问题. ①要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分,应对方程 注明 x 的取值范围,或同时注明 x,y 的取值范围,保证轨迹的 纯粹性; ②若轨迹有不同情况,应分别讨论,以保证它的完整性; ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的,求曲线的轨迹不仅要 求出方程,而且要指明曲线的位置、类型.

基础自测 1.(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是( ) A.在△ABC 中,已知 A(1,1),B(4,1),C(2,3),则 AB 边上
的高的方程是 x=2 B.方程 y=x2(x≥0)的曲线是抛物线 C.已知*面上两定点 A、B,动点 P 满足|PA|-|PB|=12|AB|,
则 P 点的轨迹是双曲线 D.第一、三象限角*分线的方程是 y=x

解析:A 选项中高线为线段,B 选项中为抛物线的一部分,C 选项中是双曲线的一支.故选 D.
答案:D

2.已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足P→A·P→B=

x2,则点 P 的轨迹是( )

A.圆

B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线

解析:设动点 P 的坐标为(x,y),则P→A=(-2-x,-y),P→B =(3-x、-y),由P→A·P→B=x2,得 y2=x+6,因此选 C.
答案:C

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x2 y2 3.已知椭圆 4 + 3 =1

的左、右两个焦点分别是

F1,F2,P



这个椭圆上的一个动点,延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|F2P|,则 Q

的轨迹方程是________________.

解析:提示:用定义法求轨迹方程. 答案:(x+1)2+y2=16

1.曲线 C 是*面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2 (1,0)的距离 的积等于常数 a2(a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论:
①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于12a2.
其中,所有正确结论的序号是____________.

解析: ①曲线 C 经过原点,这点不难验证是错误的,如果

经过原点,那么 a=1,与条件不符;②曲线 C 关于原点对称,

这点显然正确,如果在某点处|PF1||PF2|=a2,关于原点的对称

点处也一定符合|PF1||PF2|=a2;③三角形的面积

a2 S△F1F2P≤ 2 ,

因为 S△F1F2P=12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2≤21|PF1|·|PF2|=a22.所

以②③正确.

答案:②③

2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆心的轨 迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.
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解析:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1,圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.
设动圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|= (R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,由椭圆的定义可知,曲线 C 是以
M,N 为左右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点 x2 y2
除外),其方程为 4 + 3 =1(x≠-2).

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R -2≤2,所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4,

当 l 的倾斜角为 90°时,则与 y 轴重合,可得|AB|=2 3.

当 l 的倾斜角不为 90°时,由 r1≠R 知 l 不*行于 x 轴,设

l 与 x 轴的交点为 Q,则||QQPM||=rR1,可求得 Q(-4,0),所以设 l:

y=k(x+4),由 l 与圆 M 相切得

|3k| 1+k2=1,解得

k=±

42.

当 k= 42时,将 y= 42x+ 2代入x42+y32=1(x≠-2)并整理

得 7x2+8x-8=0,解得 x1=-4-7 6 2,x2=-4+7 6 2,所以|AB|

= 1+k2|x1-x2|=178.

当 k=- 42时,由图形的对称性可知|AB|=178,

综上,|AB|=178或|AB|=2 3.

1.(2013·盐城模拟)设 M、N 为拋物线 C:y=x2 上的两个动 点,过 M、N 分别作拋物线 C 的切线 l1、l2,与 x 轴分别交于 A、 B 两点,且 l1 与 l2 相交于点 P,若 AB=1.
(1)求点 P 的轨迹方程;
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(2)求证:△MNP 的面积为一个定值,并求出这个定值.

(1)解析:y′=2x,设 M(m,m2),N(n,n2),则依题意知, 切线 l1,l2 的斜率分别为 k1=2m,k2=2n,切线方程分别为 y= 2mx-m2,y=2nx-n2,

则 A????m2,0????,B????2n,0????,设 P(x,y),由?????yy==22mnxx--mn22,,

得???x=m+2 n,



??y=mn.

因为 AB=1,所以|n-m|=2, 即(m+n)2-4mn=4,将①代入上式得:y=x2-1, 所以点 P 的轨迹方程为 y=x2-1. (2)证明:设直线 MN 的方程为 y=kx+b(b>0).

联立方程?????yy==kx2x.+b, 消去 y 得 x2-kx-b=0,
所以 m+n=k,mn=-b,② 点 P 到直线 MN 的距离 d=????k????m+2 n1????+-km2n+b????,MN= 1+k2|m
-n|,所以 S△MNP=21d·MN=21????k????m+2 n????-mn+b????·|m-n|=41·(m -n)2·|m-n|=2.
即△MNP 的面积为定值 2.

x2 y2 2.已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)过点 P( 2,1),F1、F2
为其左、右焦点,且△PF1F2 的面积等于 2. (1)求椭圆 E 的方程. (2)若 M,N 是直线 x=-32上的两个动点,满足 F1M⊥F2N,问:
以 MN 为直径的圆 C 是否恒过定点?若是,请给予证明;若不是, 请说明理由.

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解析:(1)设椭圆的焦距为 2c,由 S△PF1F2=12·2c·1= 2,

∴c= 2.

∴两个焦点为 F1(- 2,0),F2( 2,0).

又椭圆 E 过点 P( 2,1),∴2a=|PF1|+|PF2|=4,得 a=

2.

∴b2=a2-c2=2,∴椭圆

E

x2 y2 方程为 4 + 2 =1.

(2)设 M,N 的坐标分别为-23,m,????-23,n????, 则F→1M=????-23+ 2,m????,F→2N=????-23- 2,n????. ∵F→1M⊥F→2N,∴F→1M·F→2N=0,
即49-2+mn=0,mn=-14.

以 MN 为直径的圆 C 的圆心为????-32,m+2 n????, |m-n|
半径为 2 ,

∴圆 C 的方程为????x+32????2+????y-m+2 n????2=

m-n 4

2


即 x2+y2+3x-(m+n)y+2=0.

令 y=0,整理得 x2+3x+2=0,得 x=-1 或 x=-2,

∴以 MN 为直径的圆 C 必过定点(-1,0)和(-2,0).

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