浙教版八年级数学上册.3~2.4等腰三角形的性质和判定.docx

发布于:2021-11-28 22:13:27

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2.3~2.4 等腰三角形的性质和判定

专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用
1. 如图在△ ABC 中,BF、CF 是角*分线,DE∥BC,分别交 AB、AC 于点 D、E,DE 经过点 F.结论: ①△BDF 和△ CEF 都是等腰三角形;②DE=BD+CE; ③△ADE 的周长=AB+AC;④BF=CF.其中正 确的是___________.(填序号)

2. 如图,在△ ABC 中,AB=AC,点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 边上,且 BE=CF,AD+EC=AB. (1)求证:△ DEF 是等腰三角形; (2)当∠A=40°时,求∠DEF 的度数; (3)△ DEF 可能是等腰直角三角形吗?为什么? (4)请你猜想:当∠A 为多少度时,∠EDF+∠EFD=120°,并请说明理由.

3. 如图,已知△ ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE 是∠ABC 的*分线,DE⊥BC,垂足为 D. (1)请你写出图中所有的等腰三角形; (2)请你判断 AD 与 BE 垂直吗?并说明理由. (3)如果 BC=10,求 AB+AE 的长.
专题二 等边三角形的性质和判定
4. 如图,在等边△ ABC 中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,点 P 是 AB 上一动点,连接 OP,以 O 为 圆心,OP 长为半径画弧交 BC 于点 D,连接 PD,如果 PO=PD,那么 AP 的长是__________.
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5. 如图.在等边△ ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的*分线相交于点 O,且 OD∥AB,OE∥AC. (1)试判定△ ODE 的形状,并说明你的理由; (2)线段 BD、DE、EC 三者有什么关系?写出你的判断过程.
6. 如图,△ ABC 中,AB=BC=AC=12cm,现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发,沿三角形的边 运动,已知点 M 的速度为 1cm/s,点 N 的速度为 2cm/s.当点 N 第一次到达 B 点时,M、N 同时停止 运动.
(1)点 M、N 运动几秒后,M、N 两点重合? (2)点 M、N 运动几秒后,可得到等边三角形△ AMN? (3)当点 M、N 在 BC 边上运动时,能否得到以 MN 为底边的等腰三角形?如存在,请求出此时 M、
N 运动的时间.
专题三 最短路径问题
7.如图,A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置,直线 a 表示输水总管道,直线 b 表示输煤气总管道.现 要在这两根总管道上分别设一个连接点,安装分管道将水和煤气输送到 A、B 两幢大楼,要求使铺设至 两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中,点 A′是点 A 关于直线 b 的对称点,A′B 分 别交 b、a 于点 C、D;点 B′是点 B 关于直线 a 的对称点,B′A 分别交 b、a 于点 E、F.则符合要求的 输水和输煤气分管道的连接点依次是( )
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A.F 和 C

B.F 和 E

C.D 和 C

D.D 和 E

8. 如图,某地现准备在一条公路旁修建一个仓储基地,分别给 A 、 B 两个超市配货,那么这个基地建在

什么位置,能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)

课时笔记
【知识要点】 1.等腰三角形的性质
性质 1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”); 性质 2:等腰三角形的顶角*分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 2.等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 3.等边三角形的性质和判定方法 性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60°. 判定方法 1:三个角都相等的三角形是等边三角形. 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 判定方法 2:有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
【温馨提示】 “等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中,在两个三角形中时,上述结论不一定成
立. 【方法技巧】
1.等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法,当要证明同一个三角形的两个内角相等时,可尝试 用“等边对等角”.
2.等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法,当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时, 可尝试用“等角对等边”.
3.利用轴对称可以解决几何中的最值问题,本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和 三角形两边之和大于第三边.
参考答案
1. ①②③ 【解析】∵DE∥BC, ∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB. ∵BF 是∠ABC 的*分线,CF 是∠ACB 的*分线, ∴∠FBC=∠DFB,∠FCE=∠FCB. ∵∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF, ∴△DFB,△FEC 都是等腰三角形. ∴DF=DB,FE=EC,即有 DE=DF+FE=DB+EC, ∴△ADE 的周长 AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC. 综上所述,命题①②③正确. 故答案为①②③.
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马鸣风萧萧 2. 解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C. 又∵AB=AD+BD=AD+EC, ∴BD=EC 在△DBE 和△ECF 中 , BE=CF,∠B=∠C,BD=EC, ∴△DBE≌△ECF(SAS). ∴DE=EF. ∴DEF 是等腰三角形. (2)∵∠A=40°,∠B=∠C, ∴∠B=∠C=70°. ∴∠BDE+∠DEB=110°. 又∵△DBE≌△ECF, ∴∠FEC=∠BDE, ∴∠FEC+∠DEB=110°, ∴∠DEF=70°. (3)假设△ DEF 是等腰直角三角形,即∠DEF=90°, ∴∠BDE+∠DEB=90°. ∴∠B=∠C=90°. 这与三角形的内角和定理相矛盾, ∴△DEF 不可能是等腰直角三角形. (4)∠EDF+∠EFD=120°,即∠DEF=60°, ∴∠FEC+∠DEB=120°,即∠B=60°. ∵AB=AC, ∴∠A=60°.
3. 解:(1)△EDC 和△ADE 是等腰三角形.
(2)AD⊥BE.理由如下:
∵EA⊥AB,DE⊥BD,BE 是△ABC 的*分线,
∴∠BEA=∠BED. 又 AE=AD(角*分线上的点到两边距离相等),
∴△EAO≌△EDO(点 O 是 AD,BE 交点).
∴∠AOE=∠DOE=90°,
∴AD⊥BE. (3)∵AB=BD,AE=ED=DC,
∴AB+AE=BD+DC=BC=10. 4. 6 【解析】 连接 OD,∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD,∠A=∠POD=60°,
∴∠APO=∠COD. 在△ APO 和△ COD 中, ∠A=∠C,∠APO=∠COD,OP=OD, ∴△APO≌△COD(AAS). ∴AP=CO. ∵CO=AC-AO=6, ∴AP=6. 5. 解:(1)△ODE 是等边三角形.
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马鸣风萧萧 其理由是:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵OD∥AB,OE∥AC, ∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°. ∴△ODE 是等边三角形. (2)BD=DE=EC. 其理由是:∵OB *分∠ABC,且∠ABC=60°, ∴∠ABO=∠OBE=30°. ∵OD∥AB, ∴∠BOD=∠ABO=30°. ∴∠DBO=∠DOB, ∴DB=DO. 同理可证 EC=EO. ∵DE=OD=OE, ∴BD=DE=EC.
6. 解:(1)设点 M、N 运动 x 秒后,M、N 两点重合, x×1+12=2x,解得 x=12. 故点 M、N 运动 12 秒后,M、N 两点重合.
(2)设点 M、N 运动 t 秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①, AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t, ∵△AMN 是等边三角形, ∴t=12-2t, 解得 t=4, ∴点 M、N 运动 4 秒后,可得到等边三角形△AMN. (3)当点 M、N 在 BC 边上运动时,可以得到以 MN 为底边的等腰三角形, 由(1)知 12 秒时 M、N 两点重合,恰好在 C 处,
如图②,假设△ AMN 是等腰三角形, ∴AN=AM. ∴∠AMN=∠ANM. ∴∠AMC=∠ANB. 马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 ∵AB=BC=AC, ∴△ACB 是等边三角形, ∴∠C=∠B, 在△ ACM 和△ ABN 中, AC=AB,∠C=∠B,∠AMC=∠ANB, ∴△ACM≌△ABN. ∴CM=BN, 设当点 M、N 在 BC 边上运动时,M、N 运动的时间 y 秒时,△ AMN 是等腰三角形, ∴CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB, 即 y-12=36-2y,解得 y=16. 故假设成立. ∴当点 M、N 在 BC 边上运动时,能得到以 MN 为底边的等腰三角形,此时 M、N 运动的时间为 16 秒.
7. A 【解析】 由轴对称--最短路线的要求可知: 输水分管道的连接点是点 B 关于直线 a 的对称点 B′与 A 的连线的交点 F, 煤气分管道的连接点是点 A 关于直线 b 的对称点 A′与 B 的连线的交点 C. 故选 A.
8. 解:如图,作点 B 关于公路的对称点 B′,连接 AB′,交公路于点 C, 则这个基地建在 C 处,才能使它到这两个超市的距离之和最小.
初中数学试卷
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