人教版高中数学必修2-4.1教学课件-圆的标准方程2

发布于:2021-06-19 13:11:31

4.1.1 圆的标准方程 问题:什么叫做圆? 圆的定义 *面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 是圆,定点就是圆心,定长就是半径. 根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b),半径是 r的圆的方程? 圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M (x,y)为圆C上任一点,则 |MC|= r 圆上所有点的集合 y P = { M | |MC| = r } M(x,y) (x ? a)2 ? (y ?b)2 ? r OC x (x-a)2+(y-b)2=r2 三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 圆心C(a,b),半径r (x ? a)2 ? (y ? b)2 ? r2 标准方程 y M(x,y) OC x 几种特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2 圆心在x轴上: (x ? a)2 + y2 = r2 圆心在y轴上: x2+ (y ? b)2 = r2 练* 求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1 (3)、(x ? 2)2 ? (y ? 3)2 ? m2 (m ? 0) 例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 解法一:设所求圆的方程为:(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 待定系 数法 ? (5 ? a)2 ? (1? b)2 ? r 2 ??(7 ? a)2 ? (?3 ? b)2 ? r 2 ??(2 ? a)2 ? (?8 ? b)2 ? r2 ?a?2 ? ??b ? ?3 ?? r ? 5 所求圆的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 解法二: AB的中垂线方程: x ? 2y ? 8 ? 0 BC的中垂线方程:x ? y ?1 ? 0 则中垂线的交点M(2,-3) 就是所求圆的的圆心。 则半径 r ? MA ? (5 ? 2)2 ? (1? 3)2 ? 5 y 半 O径 圆心 M 所求圆的方程为 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 C(2,-8) 解题思路:圆心:两条中垂线的交点 半径:圆心到圆上一点 A(5,1) x B(7,-3) 例2.已知圆的方程是 x2 ? y2 ? r2 ,求经过圆上一点 ? ? M x0 , y 0 的切线的方程. y 解:设切线的斜率为 k ,半径OM的斜率为k1 ? 由题意:k ? k1 ? y? k1 0 x0 ? ?1 k? 即 k1 ? x0 y ? ? 1 k 0 M x 经过点M的切线方程是 0 y ? y 0 ? ? x0 y ?x ? x0? 0 x y 即 x? 0 0 y ? x02 ? y02 又 x02 ? y02 ? r 2 ? 所求切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 当M在坐标轴上时,切线方程为:x ? x0 或 y ? y0 勾股定理 设 P?x, y? 是切线上的任意一点,根据勾股定理, 得 OM 2 ? MP2 ? OP2 所以 r 2 ?(x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x2 ? y2 P 即 r2 ? x02 ? y02 ? 2x0x ? 2y0 y 由于 x02 ? y02 ? r 2 y M 把方程整理可得 0 x x0 x ? y0 y ? r 2 1.圆的标准方程 小结 圆心C(a,b),半径r y (x ? a)2 ? (y ? b)2 ? r2 2.圆心 C ①两条直线的交点 (弦的垂直*分线) ②直径的中点 O 3.半径 C ①圆心到圆上一点的距离 ②圆心到切线的距离 A B x

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